Résoudre une équation différentielle

Cette fiche s'adresse en particulier aux étudiants des classes de BTS et rappelle les principales techniques de résolution des équations différentielles du premier et de second ordre.

Soit $$f$$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de réels. On considère l'équation différentielle $$(E): f'+2f=2x^2+2x+2$$. On peut facilement remarquer que la fonction $f$ définie par $f(x)=x^2+1$ est une solution de $(E)$. En effet pour tout $x$ réel , $f'(x)=2x$ et donc $f'(x)+2f(x)=2x+2(x^2+1)=2x^2+2x+2$.

Résoudre une équation différentielle revient à déterminer toutes les fonctions solutions de cette équation. Par exemple, les solutions de l'équation $(E)$ sont les fonctions $g$ définies pour tous réels $x$ par $g(x)=Ke^{-2x}+x^2+1$ où $K$ est une constante réelle quelconque..

On se propose ici de donner les méthodes qui permettent selon le type d'équations proposées (premier ou second ordre), d'établir les solutions générales de l'équation.

Equation différentielle linéaire du premier ordre


Une équation différentielle du premier ordre ne fait intervenir que la dérivée première de la fonction $f$, notée $f'$ en général.

Aussi toute équation différentielle du premier d'ordre peut-elle s'écrire sous la forme :

$a(t)y'+b(t)y=c(t)$

où $a(t),b(t)$ et $c(t)$ sont des fonctions de la variable $t$(on peut indifféremment choisir de mettre $x$) , éventuellement constantes, mais la fonction $a(t)$ ne doit jamais s'annuler (sinon $y'$ disparaîtrait et l'équation ne serait plus du premier ordre). La variable $y$ de cette équation est une fonction de la variable $t$.

Premier résultat:

Les solutions générales de l'équation sans second membre $a(t)y'+b(t)y=0$ sont de la forme $y(t)=Ke^{-F(t)}$ où $F(t)$ désigne une primitive de la fonction $\dfrac{b(t}{a(t)}$ et $K$ est une constante réelle quelconque.

Quelques exemples:

A-Cas où les fonctions $a$ et $b$ sont des constantes:

  1. L'équation différentielle $(E):y'-2y=0$ admet pour solution les fonctions du type $y(t)=Ke^{2t}$ où $K$ est une constante quelconque.
  2. L'équation différentielle $(E):4y'+3y=0$ admet pour solution les fonctions du type $y(t)=Ke^{-\dfrac{3}{4}}$ où $K$ est une constante quelconque.

B-Cas plus général:

  1. L'équation différentielle $(E):2y'-ty=0$ admet pour solution les fonctions du type $y(t)=Ke^{\dfrac{1}{4}t^2}$ où $K$ est une constante quelconque.
  2. L'équation différentielle $(E):ty'+3y=0$ admet pour solution les fonctions du type $y(t)=Ke^{-3ln(t)}$ où $K$ est une constante quelconque.

Deuxième résultat:

Les solutions générales de l'équation $a(t)y'+b(t)y=c(t)$ s'obtiennent en ajoutant aux solutions générales de la même équation sans second membre, une solution particulière de cette équation.

Faut-il être en mesure de trouver cette solution particulière! La déterminer n'est pas une compétence recherchée chez les étudiants de BTS, elle est donc souvent donnée.

Quelques exemples:

Exemple n°1: On considère l'équation différentielle $(E):y'-3y=-2t+1$. On cherche à résoudre cette équation.

La fonction $y_1$ est dérivale et $y'_1(t)=\dfrac{2}{3}$. Donc $y'_1(t)-3y_1(t)=\dfrac{2}{3}-3(\dfrac{2}{3}t-\dfrac{1}{9})=\dfrac{2}{3}-3\times \dfrac{2}{3}t+3\times \dfrac{1}{9}=-2t+1$.

Sans trop de difficulté, $y_0(t)=Ke^{3t}$

  1. Démontrer que la fonction $y_1$ définie sur $\mathbb{R}$ par $y_1(t)=\dfrac{2}{3}t-\dfrac{1}{9}$ est solution particulière de $(E)$.
  2. Déterminer les solutions $y_0$ de l'équation $(E)$ sans second membre, c'est-à-dire de l'équation $(E_0):y'-3y=0$.
  3. Donner enfin les solutions générales de l'équation $E$.
  4. Les solutions générales $y(t)$ de l'équation $(E)$ s'obtiennent en ajoutant une solution particulière ($y_1$) aux solutions sans second membre ($y_0$).

    Donc $y(t)=y_0(t)+y_1(t)= Ke^{3t}+\dfrac{2}{3}t-\dfrac{1}{9}$ où $K$ reste une constante réelle.

Exemple n°2: On considère l'équation différentielle $(E):y'-y=2cos(3t)$

La fonction $y_1$ définie sur $\mathbb{R}$ par $y_1(t)=-\dfrac{1}{5}cos(3t)+\dfrac{3}{5}sin(3t)$ est une solution particulière de $(E)$. On pourrait à titre d'exercice, demander au lecteur de le vérifier.

La fonction $y_0$ définie sur $\mathbb{R}$ par $y_0(t)=Ke^t$ est une solution de l'équation $(E)$ sans second membre.

Donc les soutions générales de $E$ sont de la forme $y(t)=Ke^t-\dfrac{1}{5}cos(3t)+\dfrac{3}{5}sin(3t)$

Equation différentielle linéaire du second ordre


Une équation différentielle fait intervenir la dérivée seconde de la fonction $f$, notée $f''$.

Aussi toute équation différentielle du premier d'ordre peut-elle s'écrire sous la forme :

$ay''+by'+cy=d(t)$

où $a,b$ et $c$  sont des constantes, avec $a \neq 0$ (sinon $y''$ disparaîtrait et l'équation ne serait plus du second ordre). La variable $y$ de cette équation est une fonction de la variable $t$.

De la même façon, on obtient les solutions générales d'une équation différentielle du second ordre en ajoutant aux solutions générales de la même équation sans second membre, une solution particulière de cette équation.

Alors qu'une solution particulière $y_1$ est au moins suggérée par l'exercice, le résultat suivant permet de déterminer une solution $y_0$ de l'équation sans second membre.

L'équation $ar^2+br+c=0$ est appelée équation caractéristique de l'équation différentielle $ay''+by'+cy=d(t)$.Soit $\Delta$ son discriminant.

Selon le signe de $\delta$, l'expression de la solution $y_0$ change. $K_1$ et $K_2$ désignent deux constantes quelconques.

  • Si $\Delta>0$ alors $y_0(t)=K_1e^{r_1t}+K_2e^{r_2t}$ où $r_1$ et $r_2$ sont les solutions réelles de l'équation caractéristique.
  • Si $\Delta=0$ alors $y_0(t)=(K_1+K_2t)e^{r_0t} $ où $r_0$ est la racine double de l'équation caractéristique;
  • Si $\Delta<0$ alors $y_0(t)=e^{\alpha t}(K_1cos(\beta t)+K_2sin(\beta t))$ où $\alpha$ et $\beta$ sont respectivement les parties réelles et imaginaires des solutions complexes de l'équation caractéristique.

Quelques exemples:

  1. Soit l'équation différentielle du second ordre sans second membre $(E):y''-2y'-3y=0$ dont l'équation caractéristique est $r^2-2r-3=0$, de discriminant $\Delta=16$. Alors les solutions de l'équation différentielle sont de la forme : $y_0(t)=K_1e^{3t}+K_2e^{-t}$ ,3 et -1 étant les solutions réelles de l'équation caractéristique.
  2. Soit l'équation différentielle du second ordre sans second membre $(E):y''-6y'+10y=0$ dont l'équation caractéristique est $r^2-6r+10=0$, de discriminant $\Delta=-4$. Alors les solutions de l'équation différentielle sont de la forme : $y_0(t)=e^{3t}(K_1cos(t)+K_2sin(t))$ où les solutions complexes de l'équation caractéristique sont $r_1=3+i$ et $r_2=3-i$.

 

Enfin deux exemples pour reprendre le cas général.

 

Exemple n°1:On considère l'équation différentielle $(E):y''-6y'+10y=5t$. On cherche à résoudre cette équation.

On sait d'après les exemples précédents, que les solutions générales de cette équation sans second membre (c'est-à-dire $y"-6y'+10y=0) sont de la forme $y_0(t)=e^{3t}(K_1cos(t)+K_2sin(t))$.

On démontre sans trop de peine que la fonction $y_1$ définie par $y_1(t)=\dfrac{1}{2}t+\dfrac{3}{10}$ est une solution particulière de l'équation $(E)$.

Les solutions générales $y(t)$ de $(E)$ s'obtiennent donc en ajoutant $y_0$ à $y_1$. Soit

$y(t)=y_0(t)+y_1(t)=e^{3t}(K_1cos(t)+K_2sin(t))+\dfrac{1}{2}t+\dfrac{3}{10}$

Exemple n°2:Soit $(E)$ l'équation différentielle :$y''-2y'+y=(t+2)e^{2t}$

Les solutions de l'équation différentielle sans second membre $y''-2y'+y=0$ sont de la forme $y_0(t)=(K_1+K_2t)e^t$ où $r_0=1$ est la racine double de l'équation caractéristique $r^2-2r+1=0$;

La fonction $y_1(t)=te^{2t}$ est une solution de l'équation $y''-2y'+y=(t+2)e^{2t}$;

Donc les solutions générales de l'équation différentielle $y''-2y'+y=(t+2)e^{2t}$ sont de la forme :

$y(t)=y_0(t)+y_1(t)=(K_1+K_2t)e^t+te^{2t}.$