Déterminer une fonction dérivée

L'objectif de cette page est de rappeler aux nouveaux étudiants des classes de BTS, les techniques de dérivation afin d'obtenir la fonction dérivée $f'$ (ou plus simplement dérivée) d'une fonction $f$.

D'abord, la connaissance des dérivées des fonctions usuelles, données dans la tableau ci-dessous, est nécessaire.

Dérivées usuelles
Si la fonction $f$ est...  alors la fonction $f'$ est...
$f(x)=ax+b$ $f'(x)=a$
$f(x)=sin(x)$ $f'(x)=cos(x)$
$f(x)=cos(x)$ $f'(x)=-sin(x)$
$f(x)=\dfrac{1}{x}$ $f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$
$f(x)=x^k$ $f'(x)=k\times x^{k-1}$
$f(x)=ln(x)$ $f'(x)=\dfrac{1}{x}$
$f(x)=e^x$ $f'(x)=e^x$

Malheureusement, les fonctions rencontrées ne se limitent pas à ces seules fonctions de références.

Il faut maintenant comprendre comment s'obtiennent les fonctions rencontrées en mathématiques ou ailleurs. Ces fonctions de références constituent les briques de l'analyse à partir desquelles nous construisons d'autres fonctions:

  • La fonction $g(x)=5sin(x)$ est le produit de 5 (fonction affine triviale) par la fonction sinus;
  • La fonction $h(x)=\dfrac{1-2x}{4x+3}$ est le quotient de deux fonctions affines;
  • La fonction $f(x)=cos(2x-1)$ est la composée d'une fonction affine et d'une fonction cosinus;
  • La fonction $r(x)=x^2e^x$ est le produit de deux fonctions reconnaissables...

A chaque type de construction(c'est-à-dire d'opération!) correspond une règle de dérivation que nous rappellons de façon exhaustive ici.

Le principe est le suivant: on prend deux fonctions $f$ et $g$ dont on connaît les dérivées $f'$ et $g'$ et on cherche à déterminer la dérivée de la somme $f+g$, du produit $f\times g$,de la composée,....

Somme de deux fonctions


 

$(f+g)'=f'+g'$

Autrement dit la dérivée d'une somme est la somme des dérivées.

Quelques exemples:

  1. Si $f(x)=x^2+3x-1$ alors $f'(x)=2x+3$
  2. Si $f(x)=sin(x) +5$ alors $f'(x)=cos(x)$

Remarque: Le tableau ci-dessous ne le rappelle pas clairement mais une constante (un nombre constant) est une fonction affine particulière dont la dérivée est nulle (égale à 0). Ainsi les constantes additives disparaissent-elles lorsqu'on les dérive, comme dans le cas de 5 de l'exemple précédent.

Produit de deux fonctions


Déclinons d'abord le cas particulier où l'une des deux fonctions est une constante. Soit $k$ un nombre réel.

$(k\times f)'=k\times f'$

La disparation des parenthèses montre qu'il suffit dans ce cas de dériver la fonction $f$ et de conserver la constante multiplicative.

Quelques exemples:

  1. Si $f(x)=2ln(x)$ alors $f'(x)=2\times \dfrac{1}{x}=\dfrac{2}{x}$
  2. Si $f(x)=6cos(x)$ alors $f'(x)=6\times (-sin(x))=-6sin(x)$

Ainsi les constantes multiplicatives demeurent-elles lorsqu'on les dérive.

Passons au cas général.

$(f\times g)'=f'\times g+f\times g'$

 

Quelques exemples:

  1. Si $f(x)=(2x-1)(4-5x)$ alors $f'(x)=2\times(4-5x)+(2x-1)\times (-5)=-20x+9$
  2. Si $f(x)=e^xsin(x)$ alors $f'(x)=e^x\times sin(x)+e^x\times cos(x)=e^x(sin(x)+cos(x))$

Quotient de deux fonctions


La formule de dérivation pour les quotients est plus complexes:

$(\dfrac{f}{g})'=\dfrac{f' \times g-f \times g'}{g^2}$

L'ordre du numérateur est important.

Quelques exemples:

  1. Si $f(x)=\dfrac{2x+3}{3x-1}$ alors $f'(x)=\dfrac{2\times (3x-1)-(2x+3)\times 3}{(3x-1)^2}=\dfrac{-11}{(3x-1)^2}$
  2. Si $f(x)=\dfrac{e^x}{e^x+2}$ alors $f'(x)=\dfrac{e^x(e^x+2)-e^x \times e^x}{(e^x)^2}=\dfrac{2e^x}{e^{2x}}=\dfrac{2}{e^x}$

 

Composée de fonctions


Le concept de la composée des fonctions nécessite une longue maturation avant que les élèves puissent l'assimiler. On se contentera ici de citer quelques exemples les plus courants avant de citer la règle générale, plus difficile à exploiter.

Premier exemple:

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=cos(2x-1)$. La fonction $f$ est la composée d'une fonction affine qui à $x$ associe $2x-1$ et de la fonction cosinus.Retenons le résultat suivant:

Soit $g$ une fonction quelconque. Si $f(x)=g(ax+b)$ alors $f'(x)=a\times g'(ax+b)$

Ainsi la dérivée de la fonction $f$ ci-desous est-elle $f'(x)=-2\times sin(2x-1)$.

Les exemples suivants donnent des fonctions construits selon le modèle $f(ax+b)$:

  1. Si $f(x)=sin(4x-\pi)$ alors $f'(x)=4cos(4x-\pi)$
  2. Si $f(x)=(5x-4)^3$ alors $f'(x)=3\times 5 \times (5x-4)^2$
  3. Si $f(x)=e^{1-3x}$ alors $f'(x)=-3\times e^{1-3x}$
  4. Si $f(x)=ln(4x-3)$ alors $f'(x)=4\times \dfrac{1}{4x-3}$

De façon plus générale, on peut énoncer les trois régles suivantes qui couvrent l'essentiel des fonctions rencontrées.

$f$ est une fonction quelconque dérivable sur son intervalle de définition et $n$ un entier positif.Alors

$(e^f)'=f'\times e^f$

$(lnf)'=\dfrac{f'}{f}$

$(f^n)'=n \times f' \times f^{n-1}$

Enfin,la règle suivante synthétise toutes celles déclinées auparavant lorsque l'on compose deux fonctions entre elles.

Soit $f$ et $g$ deux fonctions. On considère la fonction $h$ définie comme la composée des fonctions $f$ et $g$; on écrit pour tout $x$ où elle est définie, $h(x)=f(g(x))$. Alors sous certaines conditions,la fonction $h$ est dérivable et :

$h'(x)=g'(x)\times f'(g(x))$

Quelques exemples pour conclure:

  1. Si $f(x)=3e^{x2-1}$ alors $f'(x)=3\times 2x e^{x^2-1}$
  2. Si $f(x)=2ln(e^x-1)$ alors $f'(x)=2 \times \dfrac{e^x}{e^x-1}$